Kérdés:
Egy véletlen változó függvényének varianciája
Tomek Tarczynski
2010-12-28 20:13:16 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mondjuk, hogy van véletlenszerű $ X $ változó, ismert szórással és átlaggal. A kérdés a következő: mekkora a $ f (X) $ szórása egyes adott f függvényeknél. Az egyetlen általánosan ismert módszer a delta módszer, de ez csak kb. Most a $ f (x) = \ sqrt {x} $ érdekel, de jó lenne ismerni néhány általános módszert is.

Szerkesztés 2010.12.29
Elvégeztem néhány számítást a Taylor-sorozat felhasználásával, de nem vagyok biztos benne, hogy helyesek-e, ezért örülnék, ha valaki megerősítené őket.

Először meg kell közelítenünk $ E [f (X)] $
$ E [f (X)] \ kb E [f (\ mu) + f '(\ mu) (X - \ mu) + \ frac {1} {2} \ cdot f '' (\ mu) (X- \ mu) ^ 2] = f (\ mu) + \ frac {1} {2} \ cdot f ' '(\ mu) \ cdot Var [X] $

Most hozzávetőlegesen megközelíthetjük a $ D ^ 2 [f (X)] $
$ E [(f (X) -E [f ( X)]) ^ 2] \ kb E [(f (\ mu) + f '(\ mu) (X- \ mu) + \ frac {1} {2} \ cdot f' '(\ mu) (X - \ mu) ^ 2 -E [f (X)]) ^ 2] $

$ E [f (X)] $ közelítésével tudjuk, hogy $ f (\ mu) -Ef (x) \ kb - \ frac {1} {2} \ cdot f '' (\ mu) \ cdot Var [X] $

Ennek használatával megkapjuk:
$ D ^ 2 [ f (X)] \ kb \ frac {1} {4} \ cdot f '' (\ mu) ^ 2 \ cdot Var [X] ^ 2- \ frac {1} {2} \ cdot f '' (\ mu) ^ 2 \ cdot Var [X] ^ 2 + f '(\ mu) ^ 2 \ cdot Var [X] + \ frac {1} {4} f' '(\ mu) ^ 2 \ cdot E [( X- \ mu) ^ 4] + \ frac {1} {2} f '(\ mu) f' '(\ mu) E [(X- \ mu) ^ 3] $
$ D ^ 2 [ f (X)] \ kb \ frac {1} {4} \ cdot f '' (\ mu) ^ 2 \ cdot [D ^ 4 X- (D ^ 2 X) ^ 2] + f '(\ mu) \ cdot D ^ 2 X + \ frac {1} {2} f '(\ mu) f' '(\ mu) D ^ 3 X $

Az aszimptotikus eloszlásokhoz Delta módszert alkalmaznak. Nem használhatja, ha csak egy véletlen változó van.
@mpiktas: Valójában nem sokat tudok a Delta módszerről, csak olvastam valamit a wikipédián. Ez egy idézet a wikiből: "A delta módszer másodrendű Taylor kiterjesztéseket használ egy vagy több véletlen változó függvényének varianciájának közelítésére.
úgy tűnik, hogy a wikipédia pontosan azt tartalmazza, amire vágysz: http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables. Újra szerkesztem a válaszomat, úgy tűnik, hogy alábecsültem Taylor terjeszkedését.
Tomek, ha nem értesz egyet a (nem én) szerkesztésekkel, mindig újra módosíthatod őket, vagy visszaguríthatod őket, vagy csak rámutathatsz a különbségekre, és kérhetsz pontosítást.
@Glen_b: Egyetértek velük E (X-mu) = 0 nem jelenti azt, hogy E [(X-mu) ^ 3] = 0.
@mpiktas: mit értesz azzal, hogy a delta módszert használjuk aszimptotikus eloszlásokhoz és nem csak egy véletlen változót?Folyamatosan használom a delta módszert, például amikor meg kell találni az exp (x) varianciáját, ahol x a véletlen változó.Köszönöm!
@HeyJane A delta módszerrel először találkoztam A. van der Vaart "Asymptotic Statistics" című könyvében.Tévesen feltételeztem, hogy csak aszimptotikus körülmények között használhatja.A válaszom egyértelműen megmutatja, hogy ez nem így van.Bár még mindig nem értem, miért hívják delta módszernek, amikor ez a Taylor bővítési képlet alapvető alkalmazása.
Kettő válaszokat:
mpiktas
2010-12-29 01:23:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Frissítés

Alábecsültem Taylor bővítéseit. Valójában működnek. Feltételeztem, hogy a fennmaradó tag integrálja korlátlan lehet, de egy kis munkával megmutatható, hogy ez nem így van.

A Taylor-bővítés korlátozott, zárt intervallumú függvényeknél működik. Véges szórású véletlenszerű változók esetén Chebyshev egyenlőtlenség ad

$$ P (| X-EX | >c) \ le \ frac {\ operátornév {Var} (X)} {c} $$

Tehát bármely $ \ varepsilon>0 $ esetén elég nagyokat találhatunk $ c $ úgy, hogy

$$ P (X \ in [EX-c, EX + c]) = P (| X-EX | \ le c) <1- \ varepsilon $$

Először becsüljünk meg $ Ef (X ) $ . Van \ begin {align} Ef (X) = \ int_ {| x-EX | \ le c} f (x) dF (x) + \ int_ {| x-EX | >c} f (x) dF (x) \ end {align} ahol $ F (x) $ a $ X $ .

Mivel az első integrál tartománya intervallum $ [EX-c, EX + c] $ , amely korlátozott zárt intervallummal alkalmazhatjuk Taylor-bővítést: \ begin {align} f (x) = f (EX) + f '(EX) (x-EX ) + \ frac {f '' (EX)} {2} (x-EX) ^ 2 + \ frac {f '' '(\ alpha)} {3!} (x-EX) ^ 3 \ end {igazítás } ahol $ \ alpha \ az [EX-c, EX + c] $ fájlban, és az egyenlőség érvényes minden $ x \ itt: [EX-c, EX + c] $ . Csak 4 $ $ kifejezést vettem fel a Taylor-bővítésben, de általában annyit vehetünk fel, amennyit csak akarunk, amíg a function $ f $ elég sima.

Helyettesítve ezt a képletet az előzőhöz,

\ begin {align} Ef (X) & = \ int_ {| x-EX | \ le c} f (EX) + f '(EX) (x-EX) + \ frac {f' (EX)} {2} (x- EX) ^ 2dF (x) \\\\ & + \ int_ {| x-EX | \ le c} \ frac {f '' '(\ alpha)} {3!} (X-EX) ^ 3dF (x) + \ int_ {| x-EX | >c} f (x) dF (x) \ end {align} Mostantól növelhetjük az integráció tartományát, hogy megkapjuk a következő képletet

\ begin {igazítás} Ef (X) & = f (EX) + \ frac {f '' (EX)} {2} E (X-EX) ^ 2 + R_3 \\\\\ end {igazítás} ahol \ kezdődik {align} R_3& = \ frac {f '' '(\ alpha)} {3!} E (X-EX) ^ 3 + \\\\ & + \ int_ {| x-EX | >c} \ balra (f (EX) + f '(EX) (x-EX) + \ frac {f' '(EX)} {2} (x-EX) ^ 2 + f ( X) \ right) dF (x) \ end {align} Most néhány pillanatban megmutathatjuk, hogy a fennmaradó kifejezés második tagja akkora, mint $ P (| X-EX | >c) $ ami kicsi. Sajnos az első kifejezés megmarad, így a közelítés minősége a $ E (X-EX) ^ 3 $ és a $ f $ korlátozott időközönként. Az ilyen közelítésnek a $ E (X-EX) ^ 3 = 0 $ véletlenszerű változók esetén kell a legjobban működnie.

Most pedig az általunk használt variancia esetében Taylor közelítése a $ f (x) $ értékhez, vonja le a $ Ef (x) $ és a négyzet képletét a különbség. Ezután

$ E (f (x) -Ef (x)) ^ 2 = (f '(EX)) ^ 2 \ operátor neve {Var} (X ) + T_3 $

ahol a $ T_3 $ pillanatokkal $ E (X- EX) ^ k $ a $ k = 4,5,6 $ esetén. Ehhez a képlethez úgy is eljuthatunk, hogy csak elsőrendű Taylor-bővítést alkalmazunk, vagyis csak az első és a második deriváltat használjuk. A hiba kifejezés hasonló lenne.

Másik lehetőség a $ f ^ 2 (x) $ kiterjesztése: \ begin {align} f ^ 2 (x) & = f ^ 2 (EX) + 2f (EX) f '(EX) (x-EX) \\\\ & + [(f' (EX)) ^ 2 + f (EX) f '' (EX)] (X-EX) ^ 2 + \ frac {(f ^ 2 (\ beta)) '' '} {3!} (X-EX) ^ 3 \ vége {igazítás}

Hasonlóképpen megkapjuk azután \ begin {align *} Ef ^ 2 (x) = f ^ 2 (EX) + [(f '(EX)) ^ 2 + f ( EX) f '' (EX)] \ operátor neve {Var} (X) + \ tilde {R} _3 \ end {align *} ahol $ \ tilde {R } _3 $ hasonló a $ R_3 $ fájlhoz.

A variancia képlete ekkor \ begin {align} \ operátornév {Var} (f (X)) = [f '(EX)] ^ 2 \ operátornév {Var} (X) - \ frac {[f '' (EX)] ^ 2} {4} \ operatorname {Var} ^ 2 (X) + \ tilde {T} _3 \ end {align} span > ahol a $ \ tilde {T} _3 $ csak harmadik és annál magasabb pillanatokkal rendelkezik.

Nem kell tudnom a variancia pontos értékét, nekem a közelítésnek működnie kell.
Valójában az OP $ \ mathbb {E} [f (X)] $ hozzávetőleges képletét gyakran használják a gazdaság, a pénzügy és a biztosítás kockázatelemzésében.
@Raskolnikov, igen, de ellentmond a Taylor-terjeszkedésről vallottan elavult tudásomnak. Nyilvánvaló, hogy a fennmaradó kifejezést figyelembe kell venni. Ha a véletlen változó be van határolva, akkor nincs probléma, mivel a polinomok a folytonos függvényeket egységesen közelítik meg a határolt intervallumon. De korlátlan véletlen változókkal foglalkozunk. Természetesen a véletlenszerű normál esetében elmondhatjuk, hogy ez ténylegesen korlátozott, de általában mégis előfordulhat csúnya meglepetés, vagy sem. Javítom a válaszomat, amikor megkapom az egyértelmű választ.
@mpiktas: Végeztem néhány szimulációt, és a közelítés pontossága nagymértékben függ az eloszlástól, unimodális eloszlás esetén ez jól működik, de a hiba jelentős lehet az egyenletes eloszlás szempontjából. Teszteltem a $ f (x) = \ sqrt {x} $ -t, és $ \ chi ^ {2} $ esetén a relatív hiba kb. 3% volt, de egyenletes eloszlás esetén meghaladta a 10% -ot. A szórásról beszélek, mert az átlagot sokkal jobban megközelítik.
@Tomek Tarczynski, a $ \ sqrt {x} $ harmadik származéka, nagy dollár esetén meglehetősen gyorsan nulla, de nulla közelében nincs korlátozva. Tehát, ha egyenletes eloszlást választott nullához közeli támogatással, a fennmaradó kifejezés nagy lehet.
@mpiktas: Nagyszerű válasz, Sokat fáradoztál. Nagyon hálás vagyok.
@Tomek Tarczynski, szívesen.
A $ f (x) = \ sqrt x $ esetében miért nem fog működni a delta módszer?Ha jól tudom, a delta módszer képlete egy véletlen változóra: $ V [f (X)] = [\ frac {d} {dx} f (x)] ^ 2 V (X) $.Ha ez helyes, akkor nem $ f (x) = \ sqrt x $, $ V [f (X)] = [\ frac {d} {dx} \ sqrt x] ^ 2 V (X) =[\ frac {1} {2 \ sqrt x}] ^ 2 V (X) = [\ frac {1} {4 x}] V (X) $?
A delta módszer képletének hivatkozása egy véletlen változóra, $ V [f (X)] \ kb [\ frac {d} {dx} f (x)] ^ 2 V (X) $, a következő: http: //onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9781118307656.app1/pdf egyenlet (A.4).
Ne feledje, hogy a linkjén az egyenlőség hozzávetőleges.Ebben a válaszban az összes egyenlet pontos.Ezenkívül a variancia esetében vegye figyelembe, hogy az első származékot $ $ $ -ra becsülik, nem pedig $ x $ -ra.Azt sem mondtam soha, hogy ez nem fog működni $ \ sqrt {x} $ esetén, csak azt, hogy $ \ sqrt {x} $ esetében a hozzávetőleges képletnek hatalmas hibája lehet, ha a $ X $ domain nullához közel van.
Válaszában azt írta, hogy \ begin {align} f (x) = f (EX) + f '(EX) (x-EX) + \ frac {f' '(EX)} {2} (x-EX) ^ 2 + \ frac {f' '' (\ alpha)} {3} (x-EX) ^ 3 \ end {igazítás}.De az utolsó kifejezés nevezője nem $ 3! $?
@Leaf, igen biztos.
leonbloy
2010-12-28 20:59:29 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Az X első két pillanatának (átlag és variancia) ismerete nem elég, ha az f (x) függvény tetszőleges (nem lineáris). Nem csak a transzformált Y változó varianciájának kiszámításához, hanem annak átlagához is. Ennek megtekintéséhez - és talán a probléma támadásához - feltételezhetjük, hogy transzformációs függvényének Taylor-kiterjedése van az X átlaga körül, és onnan dolgozhat.



ⓘ
Ezt a kérdést és választ automatikusan lefordították angol nyelvről.Az eredeti tartalom elérhető a stackexchange oldalon, amelyet köszönünk az cc by-sa 2.0 licencért, amely alatt terjesztik.
Loading...