Kérdés:
Is AR(1) a Markov process?
Flying pig
2012-02-28 14:48:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Az AR (1) folyamat, például a $ y_t = \ rho y_ {t-1} + \ varepsilon_t $ Markov-folyamat?

Ha igen, akkor a VAR (1) a Markov-folyamat vektorváltozata?

Három válaszokat:
NRH
2012-02-28 19:51:03 UTC
view on stackexchange narkive permalink

A következő eredmény érvényes: Ha a $ \ epsilon_1, \ epsilon_2, \ ldots $ független értékeket vesz fel a $ E $ és $ f_1 értékekben, az f_2, \ ldots $ függvények $ f_n: F \ E \ - F $ -szor, majd $ X_n $ -val rekurzív módon definiálva:

$$ X_n = f_n (X_ {n-1}, \ epsilon_n), \ quad X_0 = x_0 \ F $$

a $ (X_n) _ {n \ geq 0} $ folyamat $ F $ -ban egy Markov-folyamat, amelynek kezdete $ x_0 $. A folyamat időben homogén, ha a $ \ epsilon $ azonos eloszlású, és az összes $ f $ -funkció azonos.

Az AR (1) és a VAR (1) mindkettő ebben a formában van megadva:

$$ f_n (x, \ epsilon) = \ rho x + \ epsilon. $ $

Így homogén Markov-folyamatok, ha a $ \ epsilon $ -ok iid

Technikailag az $ E $ és $ F $ szóközöknek mérhető struktúrára van szükségük, és a $ f A $ -funkcióknak mérhetőnek kell lenniük. Nagyon érdekes, hogy fordított eredmény áll fenn, ha az $ F $ szóköz Borel tér . bármely Markov-folyamathoz ($ (X_n) _ {n \ geq 0} $ egy Borel-téren $ F $ vannak i.i.d. egységes véletlen változók $ \ epsilon_1, \ epsilon_2, \ ldots $ dollárban [0,1] $ és függvények $ f_n: F \ -szer [0, 1] \ -től F $ -ig, így valószínűséggel egy $$ X_n = f_n (X_ {n-1}, \ epsilon_n). $$ Lásd a 8.6. javaslatot Kallenbergben, A modern valószínűség alapjai .

Macro
2012-02-28 19:37:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

A $ X_ {t} $ folyamat AR (1) folyamat, ha

$$ X_ {t} = c + \ varphi X_ {t-1} + \ varepsilon_ {t} $ $

ahol a hibák, $ \ varepsilon_ {t} $ iid. Egy folyamat rendelkezik a Markov tulajdonsággal, ha

$$ P (X_ {t} = x_t | {\ rm \ \ processzor teljes \ előzménye) = P (X_ {t} = x_t | X_ {t-1} = x_ {t-1}) $$

Az első egyenlettől kezdve a $ X_ {t} $ valószínűségi eloszlása ​​egyértelműen csak $ X_ {t-1} $ -tól függ, tehát igen, az AR (1) folyamat Markov-folyamat.

-1, ugyanaz az ok, mint egy másik plakát esetében. A válasz azt sugallja, hogy az idézett Markov tulajdonságát könnyű ellenőrizni. Nem, hacsak másként nem mutatjuk be. Vegye figyelembe azt is, hogy az AR (1) folyamatok úgy definiálhatók, hogy a $ \ varepsilon_t $ nem iid, tehát ezt is meg kell címezni.
A fő probléma az, hogy könnyen írhatunk $ X_t = c + \ phi c + \ phi ^ 2X_ {t-2} + \ phi \ varepsilon_ {t-1} + \ varepsilon_ {t} $, és akkor az utolsó mondat azt sugallja, hogy $ P (X_t = x_t | \ text {teljes előzmények}) = P (X_ {t} = x_t | X_ {t-2} = x_ {t-2}) $.
Nos, a markov folyamatok valóban függenek a $ X_ {t-2} $ értéktől, ha még nem feltételeztük a $ X_ {t-1} $ értéket. Feltételezem, hogy egy formálisabb érv feltételezné, hogy szekvenciálisan kondicionálsz (azaz nem adsz meg $ X_ {t-2} $ értéket, hacsak még nem feltételezed a $ X_ {t-1} $ értéket).
és amit ott írtál, valójában mind a $ X_ {t-2} $, mind a $ X_ {t-1} $ értéktől függ (a $ \ varepsilon_ {t-1} $ hibatagon keresztül). A lényeg az, hogy az együttes valószínűség könnyen leírható olyan feltételes valószínűségek szorzataként, amelyek csak az előző időpontban igényelnek kondicionálást. A paraméter-redundanciák révén úgy teheti láthatóvá, hogy a $ X_t $ eloszlása ​​$ X_ {t-2} $ -tól függ, de miután feltételhez kötötted a $ X_ {t-1} $ -ot, egyértelműen nem. (p.s. Shumwaynként egy AR (1) folyamat standard meghatározását és Stoeffer idősoros könyvét használtam)
Megjegyzés: Nem mondom, hogy a válasz helytelen. Csak a részleteket szaggatom, vagyis azt, hogy a második egyenlőség intuitív módon nyilvánvaló, de ha ezt hivatalosan be akarja bizonyítani, akkor nem olyan egyszerű, IMHO.
A válasz tisztázhatja, hogy az AR (1) folyamat a Markov-lánc egy bizonyos típusa + az i.i.d.hibák feltételezése.A Markov-lánc itt hivatkozott típusa egy időben homogén Markov-lánc.A nem homogén Markov-lánc egészen más vadállat, mint bármely AR (1) modell.
Tomas
2012-02-28 15:39:50 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mi az a Markov-folyamat? (lazán speeking) A sztochasztikus folyamat elsőrendű Markov-folyamat, ha a feltétel

$$ P \ bal [X \ bal (t \ jobb) = x \ bal (t \ jobb) | X \ bal (0 \ jobb) = x \ bal (0 \ jobb), ..., X \ bal (t-1 \ jobb) = x \ bal (t-1 \ jobb) \ jobb] = P \ bal [X \ bal (t \ jobb) = x \ bal (t \ jobb) | X \ left (t-1 \ right) = x \ left (t-1 \ right) \ right] $$

tart. Mivel a következő érték (azaz a következő érték elosztása) $ AR (1 ) A $ process csak az aktuális folyamat értékétől függ, és nem függ a többi előzménytől, ez egy Markov-folyamat. Amikor megfigyeljük az autoregresszív folyamat állapotát, a múlt története (vagy megfigyelései) nem nyújt további információt. Tehát ez azt jelenti, hogy a következő érték valószínűségi eloszlását a múltra vonatkozó információink nem befolyásolják (ettől függetlenek.) >

Hm, ha a $ \ varepsilon_t $ nem iid, nem hiszem, hogy ez érvényes. Ön sem adott igazolást, csak a Markov ingatlanra hivatkozott.
Azt hittem, hogy a Markov-folyamat a folyamatos esetre utal. A szokásos AR idősorok diszkrétek, ezért Markov-folyamat helyett Markov-láncnak kell megfelelnie.
Tehát megfigyeljük az autoregresszív folyamat állapotát, $ X_t $. A múlt története $ X_ {t-1}, X_ {t-2}, ... $. Ez nem ad további információt?
Az @joint_p, terminológiája nem teljesen következetes az irodalomban. Történelmileg, ahogy látom, a "folyamat" helyett a "lánc" használata tipikusan arra utal, hogy a folyamat * állapottere * diszkrét, de időnként idő is diszkrét. Ma sokan a "láncot" használják diszkrét időre utalva, de lehetővé teszik az általános állapotot, mint például Markov Chain Monte Carlo. A "folyamat" használata azonban szintén helyes.
@mpiktas Ha ** első rendű ** autoregresszív folyamatot figyelünk meg, akkor a megfigyelt aktuális állapottól függően nincs szükségünk a múltbeli további információkra a következő érték eloszlásának megismeréséhez. Hangsúlyozni szeretném, hogy nem gondolok a következtetésekre, ahol a statisztikai információk fontosak.
-1, mivel a markovi birtok igazolása nincs megadva. A kézlengetés argumentuma sem egyezik a megadott képlettel. jelenlegi állapot = $ t $, múlt azt jelenti, hogy $ t-1, t-2, ... $, a következő: $ t + 1 $, de a képlet nem tartalmaz $ t + 1 $ -t.


ⓘ
Ezt a kérdést és választ automatikusan lefordították angol nyelvről.Az eredeti tartalom elérhető a stackexchange oldalon, amelyet köszönünk az cc by-sa 3.0 licencért, amely alatt terjesztik.
Loading...