Lehetséges, hogy két véletlen változó eloszlása azonos és mégis szinte biztosan különböznek egymástól?
Legyen $ X \ sim N (0,1) $, és definiálja $ Y = -X $ értéket. Könnyen bebizonyítható, hogy $ Y \ sim N (0,1) $.
De $$ P \ {\ omega: X (\ omega) = Y (\ omega) \} = P \ {\ omega: X (\ omega) = 0, Y (\ omega) = 0 \} \ leq P \ {\ omega: X (\ omega) = 0 \} = 0 \,. $$
Ennélfogva a $ X $ és a $ Y $ eltér az egyik valószínűséggel.
Bármely $ X $ és $ Y $ független véletlen változó pár, amelyeknek ugyanaz a folyamatos eloszlása, ellenpéldát ad.
Valójában két azonos eloszlású véletlen változó még nem is feltétlenül van megadva ugyanazon valószínűségi tér, ezért a kérdésnek általában nincs értelme.
Csak vegye figyelembe a következőt: $ X (x) = x $ és $ Y (x) = 1-x $, a $ x \ in [0,1] $ értékben, Borel vagy Lebesgue mértékkel.Mind a felhalmozott valószínűség $ F (x) = x $, mind a valószínűségi disztribúció $ f (x) = 1 $.A $ X + Y $ összeg eloszlása Dirac egységtömeg, amelynek értéke $ x = 1 $.