A Valószínűségi modell a $ (\ Omega, {\ mathcal F}, {\ mathbb P}) $ hármasból áll, ahol a $ \ Omega $ a mintaterület, $ {\ mathcal Az F} $ egy $ \ sigma $ −algebra (események), a $ {\ mathbb P} $ pedig a $ {\ mathcal F} $ valószínűségének mértéke.

Intuitív magyarázat . A valószínűségi modell értelmezhető ismert véletlen változóként $ X $. Például legyen a $ X $ normálisan elosztott véletlen változó, átlagos $ 0 $ és variancia $ 1 $. Ebben az esetben a $ {\ mathbb P} $ valószínűségmérő a kumulatív elosztási függvényhez (CDF) $ F $ -

$$ F (x) = {\ mathbb P} (X \ leq x) = {\ mathbb P} (\ omega \ in Omega: X (\ omega) \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ x \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ exp \ left ({- \ dfrac {t ^ 2} {2}} \ right) dt. $$

Általánosítások . A valószínűségi modell meghatározása a valószínűség matematikai meghatározásától függ, lásd például Szabad valószínűség és Kvantum valószínűség.

A Statisztikai modell a valószínűségi modellek $ {\ \ mathcal S} $ összessége, vagyis a $ \ Omega $ mintaterületen található valószínűségi mértékek / eloszlások halmaza.

Ezt a valószínűségeloszlás-halmazot általában egy bizonyos jelenség modellezésére választják ki, amelyből adataink vannak.

Intuitív magyarázat . Egy statisztikai modellben mind a paraméterek, mind az eloszlás, amelyek egy bizonyos jelenséget leírnak, ismeretlenek. Példa erre a Normál eloszlások családja, átlagos $ \ mu \ in {\ mathbb R} $ -val és $ \ sigma ^ 2 \ szórással {\ mathbb R _ +} $ -ban, vagyis mindkét paraméter ismeretlen, és Ön általában az adatkészletet a paraméterek becsléséhez szeretné használni (azaz kiválasztani a $ {\ mathcal S} $ elemét). Ez a disztribúciókészlet tetszőleges $ \ Omega $ és $ {\ mathcal F} $ esetén választható, de ha nem tévedek, egy valós példában csak az ugyanazon a $ (\ Omega, {\ mathcal F }) $ ésszerű megfontolni.

Általánosítások . Ez a cikk a statisztikai modell nagyon formális meghatározását nyújtja, de a szerző megemlíti, hogy "A Bayes-modellhez egy további összetevőre van szükség egy előzetes eloszlás formájában. Bár a Bayes-formulációk nem az elsődleges fontosságúak ebben a cikkben ". Ezért a statisztikai modell meghatározása attól függ, hogy milyen modellt használunk: paraméteres vagy nem paraméteres. A paraméteres beállításban is a definíció a paraméterek kezelésének módjától függ (pl. Klasszikus vagy Bayes-i).

A különbség a következő: egy valószínűségi modellben pontosan ismeri a valószínűség mértékét , például egy $ \ mbox {Normal} (\ mu_0, \ sigma_0 ^ 2) $, ahol $ \ mu_0, \ sigma_0 ^ 2 $ ismert paraméterek, míg egy statisztikai modellben az eloszlások halmazát vesszük figyelembe, például $ \ mbox {Normal} (\ mu, \ sigma ^ 2) $, ahol a $ \ mu, \ sigma ^ 2 $ ismeretlen paraméterek.

Egyik sem igényel adatkészletet, de azt mondanám, hogy a modellezéshez általában statisztikai modellt választanak.