A gyakoriak döntési elméletében léteznek teljes osztály eredmények, amelyek az elfogadható eljárásokat Bayes-eljárásokként vagy a Bayes-eljárások korlátjaiként jellemzik. Például Stein szükséges és elégséges feltétele (Stein. 1955; Farrell, 1968b) kijelenti, hogy a következő feltételezések

1. a $ f (x | \ theta) $ mintavételi sűrűség folyamatos a $ \ theta $ és szigorúan pozitív a $ \ Theta $ -on; és
2. az $ L $ veszteségfüggvény szigorúan domború, folytonos, és ha az $ E \ Theta $ részhalmaz kompakt, akkor $$ \ lim _ {\ | \ delta \ | \ rightarrow + \ infty} \ inf_ {\ theta \ E-ben} L (\ theta, \ delta) = + \ infty. $$

egy $ \ delta $ becslő akkor és csak akkor megengedett, ha létezik

• a növekvő kompakt halmazok $ (F_n) $ szekvenciája oly módon, hogy $ \ Theta = \ bigcup_n F_n $,
• $ (\ pi_n) $ sorozat véges mértékek a $ F_n $ támogatással, és

• egy $ ( \ delta_n) A $ \ pi_n $ -hoz társított Bayes-becslők $ értéke, amely

  1. létezik egy kompakt készlet $ E_0 \ subset \ Theta $, amely $ \ inf_n \ pi_n (E_0) \ ge 1 $
  2. ha a $ E \ Theta $ részhalmaz kompakt, $ \ sup_n \ pi_n (E) < + \ infty $
  3. $ \ lim_n r (\ pi_n, \ delta) - r (\ pi_n) = 0 $ és
  4. $ \ lim_n R (\ theta, \ delta_n) = R (\ theta, \ delta) $.

[reprodukálva a könyvemből, Bayesian Choice, 8.3.0. tétel, 407. o.]

Ebben a korlátozott értelemben az elfogadhatóság gyakorisági tulajdonsága Bayes-i háttérrel felruházva, ezért egy implicit priorot (vagy annak szekvenciáját) társítja az egyes megengedett becslőkhöz.

Sidenote: Szomorú egybeesésben Charles Stein elhunyt. november 25-én a kaliforniai Palo Altóban. 96 éves volt.

Hasonló (ha matematikailag is érintett) eredményt kapunk az invariáns vagy az egyenértékű becslésnél, nevezetesen azt, hogy a legjobb egyenértékű becslő minden egyes Bayes-becslő statisztikai modell alapján működő tranzitív csoport, amelyhez a jobb Haar-mérték, a $ \ pi ^ * $ társul, ez a csoport és a hozzá tartozó invariáns veszteség indukálta a $ \ Theta $ -ot.Az érintett részleteket lásd Pitman (1939), Stein (1964) vagy Zidek (1969).Valószínűleg erre gondolt Jaynes, amikor erőszakosan érvelt a marginalizálódási paradoxonok változatlansági elvek általi megoldása mellett.

A civilstat válaszban az optimalitás egy másik gyakori fogalma, nevezetesen a minimxitás kapcsolódik a Bayes-i eljárásokhoz, mivel a maximális hibát (a paramétertér felett) minimalizáló minimumx eljárás gyakran az a maximin eljárás, amely maximalizálja aminimális hiba (minden korábbi disztribúció felett), ezért ez egy Bayes vagy a Bayes eljárás (ok) korlátja.

K .: Van-e pithy elvihetőséghogy áthelyezzem a bayesi intuíciómat a gyakorló modellekre?

Először kerülném a "gyakorisági modell" kifejezés használatát, mivel vannak mintavételi modellek (az $ x $ adat a $ X \ sim f (x | \ theta) $ megvalósulása a $ \ paraméterértékhez theta $) és a gyakorló eljárások (a legjobb elfogulatlan becslő, a minimális variancia-konfidencia intervallum, &tc.) Másodszor, nem látok kényszerítő módszertani vagy elméleti okot arra, hogy a gyakoriságos módszereket határnak vagy korlátozónak tekintsem Bayesi módszerek. A gyakorisági eljárás indoklása, ha létezik, az, hogy kielégíti a mintavételi tér valamilyen optimális tulajdonságát, vagyis a megfigyelések megismétlésekor. A Bayes-i eljárások elsődleges igazolása az, hogy optimális legyen [egy adott kritérium vagy veszteségfüggvény alapján], ha a mintavételi modellből egy korábbi eloszlást és egy megvalósítást adunk. Előfordul, hogy az eredményül kapott eljárás kielégíti valamelyik gyakorisági tulajdonságot (a hiteles $ 95 $% régió egy $ 95%% -os megbízhatósági régió) , de ez olyan esemény, hogy ez az optimalitás nem terjed át a Bayes-féle összes eljárásra modell.

@ Xi'an válasza teljesebb. De mivel te is kértél pithy elvitelt, itt van egy. (Az általam említett fogalmak nem teljesen megegyeznek a fenti elfogadhatósági beállítással.)

A gyakoriságúak gyakran (de nem mindig) olyan becslőket szeretnek használni, amelyek "minimumx": ha meg akarom becsülni a $ \ theta $ értéket , a becslőm $ \ hat {\ theta} $ legrosszabb esete kockázatának jobbnak kell lennie, mint bármely más becslő legrosszabb esete. Kiderült, hogy az MLE-k gyakran (megközelítőleg) minimumxok. Részleteket lásd például itt vagy itt.

A probléma minimumx-becslőjének megtalálásához az egyik módszer az, hogy egy pillanatig gondolkodunk a Bayesian-on, és megtaláljuk a "legkevésbé kedvező előtti" $ \ pi $. Ez az a prior, amelynek Bayes-becslője magasabb átlagos kockázattal rendelkezik, mint bármely más prior Bayes-becslője. Ha megtalálod, akkor kiderül, hogy a $ \ pi $ Bayes-becslője minimumx.

Ebben az értelemben mondhatnád: A (minimumx-használó) Frequentist olyan, mint egy Bayes-i, aki (az alapú becslés alapján) a legkevésbé kedvező priorot választotta.

Talán ki tudná ezt mondani: Az ilyen gyakoriság konzervatív bayesi-i, aki nem szubjektív papokat vagy éppen informálatlanokat választ. priorok, de (ebben a konkrét értelemben) a legrosszabb esetekben.

Végül, amint mások mondták, a frekvencisták és a bayesiek ilyen módon történő összehasonlítása nagyon nehéz. Gyakoriságnak lenni nem feltétlenül jelenti azt, hogy használ egy bizonyos becslőt. Ez csak azt jelenti, hogy kérdéseket tesz fel a becslő mintavételi tulajdonságairól, miközben ezek a kérdések nem a Bayes-féle elsődleges prioritások. (Tehát minden Bayes-i ember, aki reméli a jó mintavételi tulajdonságokat, pl. "kalibrált Bayes", szintén frekvencia képviselő.)
Még akkor is, ha a frekvenciát úgy definiálja, mint amelynek becslői mindig vannak optimális mintavételi tulajdonságok, sok ilyen tulajdonság van, és nem mindig képes egyszerre megfelelni mindegyiknek. Tehát nehéz általában "az összes frekvencia modellről" beszélni.