Ez egy nagyon jó kérdés, amellyel már jó ideje küzdök. Így döntöttem a gondolkodás mellett:

Vegyük a definíció kontrapozitívját a Wikipédiában leírtak szerint (ami egyáltalán nem változtatja meg a logikai jelentést):

\ begin {align} {\ rm If} \ quad & \ neg \ \ all \ theta \ P (g (T (x)) = 0) = 1 \\ {\ rm then} \ quad & \ neg \ \ forall \ theta \ E (g (T (x))) = 0 \ end {align}

Más szavakkal, ha van olyan paraméterérték, hogy $ g (T (x)) $ szinte biztosan nem $ 0 $, akkor van egy olyan paraméterérték, hogy a statisztika várható értéke nem $ 0 $.

Hmm. Mit is jelent ez?

Tegyük fel a kérdést, mi történik, ha a $ T (x) $ NEM teljes ...

A NEM teljes $ T (x) $ statisztika legalább egy paraméterértékkel rendelkezik, így a $ g (T (x)) $ nem biztos, hogy $ 0 $ ehhez az értékhez, és mégis várható értéke $ 0 $ az összes paraméterértéknél (beleértve ezt is).

Más szavakkal, vannak olyan $ \ theta $ értékek, amelyekre a $ g (T (x)) $ nem triviális eloszlású (körülötte van némi véletlenszerű variáció), és mégis a $ várható értéke A g (T (x)) $ ennek ellenére mindig $ 0 $ - nem mozdul el, függetlenül attól, hogy a $ \ theta $ mennyiben különbözik.

Teljes statisztika, másrészt meg fog mozdulni a várható értékén, ha $ g (T (x)) $ nem triviálisan oszlik el, és $ 0 $ -ra összpontosul valamilyen $ \ theta $ esetében.

Másképp fogalmazva, ha találunk egy $ g (\ cdot) $ függvényt, ahol a várható érték nulla valamilyen $ \ theta $ értéknél (mondjuk $ \ theta_0 $), és ennek nem triviális eloszlása ​​van, ha ezt az értéket $ \ theta $, akkor kell még egy va odakint $ \ theta $ (mondjuk $ \ theta_1 \ ne \ theta_0 $), ami más elvárást eredményez $ g (T (x)) $ számára.

Ez azt jelenti, hogy ezt a statisztikát ténylegesen felhasználhatjuk hipotézisek teszteléséhez és informatív becsléshez adataink feltételezett eloszlásának összefüggésében. Szeretnénk a $ \ theta $ feltételezett értéke köré összpontosítani, és elérni, hogy 0 várakozással számoljon a feltételezett $ \ theta $ értékre, de a $ \ theta $ összes többi értékére nem. De ha a statisztika nem teljes, akkor előfordulhat, hogy ezt nem tudjuk megtenni: előfordulhat, hogy nem tudjuk elutasítani a $ \ theta $ feltételezett értékeit. De akkor nem tudunk konfidencia intervallumokat építeni és statisztikai becslést végezni.

Geometriai szempontból a teljesség ilyet jelent: ha a $ g (T) $ vektor merőleges a p.d.f-re. $ f_ \ theta $ / $ T $ minden egyes $ \ theta $, $$ \ mathbb E_ \ theta g (T) = \ langle g (T), f_ \ theta \ rangle = 0 $$, majd $ g (T) = 0 $, azaz a $ f_ \ theta $ függvények a $ \ theta $ változtatásához átfogják a $ T $ függvényeinek teljes terét. Tehát bizonyos szempontból természetesebb lenne azt mondani, hogy

$ \ theta $ teljes $ T $

, mint amit mondunk,

$ T $ elkészült a $ \ theta $ fájlhoz.

Így nem olyan furcsa, hogy egy állandó függvény "teljes" lenne!

Talán egy példa segít.

Tegyük fel, hogy a $ X $ és a $ Y $ függetlenek és azonos eloszlású Bernoulli ($ \ theta $) véletlen változók veszik az értékeket $ \ {0, 1 \} $, és $ Z = XY $. Ekkor a $ Z $ hiányos a (z) $ \ theta $ esetében, mert a $ g = \ text {identity} $, $$ \ mathbb E_ \ theta (Z) = 0 $$ összes $ 0< \ theta<1 $ értékre, de ennek ellenére $ \ mathbb P_ \ theta (Z = 0) \ ne 1 $.

Nagyon hasznosnak találtam ezt:

Definíció: A statisztikát $ T $ teljes -nek nevezzük, ha $ E_ \ theta [g (T)] = 0 $ mindenki számára $ \ theta $ és néhány $ g $ függvény azt jelenti, hogy $ P_ \ theta (g (T) = 0) = 1 $ az összes $ \ theta $ esetében.

Gondoljon erre, mint a vektorok analógjára, és arra, hogy a {$ v_1, \ ldots, v_n $} vektorok alkotják-e a vektortér teljes halmazát (= alapját).

• Ha az egész teret lefedik, akkor bármelyik $ v $ lineáris kombinációként írható fel ezeknek a vektoroknak: $ v = \ sum_j a_j \ cdot v_j $.
• Továbbá, ha a $ w $ vektor merőleges az összes $ v_j $ -ra, akkor $ w = 0 $.

A teljességdefinícióval való kapcsolat megteremtése érdekében vegyük fontolóra egy diszkrét valószínűségeloszlás esetét. A teljesség feltételének kiírásával kezdjük $$ 0 = E_ \ theta [g (t)] = \ sum_t g (t) \ cdot P_ \ theta (T = t) = \ sum_j g (t_j) \ cdot P_ \ theta (T = t_j) = \ begin {bmatrix} g (t_1) \\ g (t_2) \\ \ ldots \\ g (t_n) \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} p_ \ theta (t_1) \\ p_ \ theta (t_2) \\ \ ldots \\ p_ \ theta (t_n) \\ \ end {bmatrix} $$ az összes $ \ theta $. Itt az összeget két vektor skaláris szorzataként fejeztük ki $$ (g (t_1), g (t_2), ...) $$ és $$ (p_ \ theta (t_1), p_ \ theta (t_2), ...) $$, $ p_ \ theta (t_j) = P_ \ theta (T = t_j) \ ne 0 $ - csak ezt vesszük figyelembe pozitív valószínűség, mert ha $ p (t_j) = 0 $, ez nem mond semmit a $ g (t_j) $ függvényről. Most látjuk a fent tárgyalt ortogonalitási feltétel analógiáját.

Elvileg előfordulhat, hogy a $ g (t_j) $ értéke nem nulla, de nullára összegezhetõ. Amint azonban Lhunt kijelentette, ez csak akkor lehetséges, ha

• a $ (p_ \ theta (t_1), p_ \ theta (t_2), ...) valószínűségi vektor egyáltalán nem változik, ha a $ \ theta $ változik,
• vagy ha "egyszerű módon" változik, pl. az összes $ j $ egyik értékéről egy másikra ugrik az összes $ j $ értékre,
• vagy ha "összefüggő módon" változik, amit rémálommal lehetne kezelni.

Így a kifejezések kereszttörlése csak akkor lehetséges, ha a valószínűségeloszlás vagy "unalmas bázisvektorok halmazát", vagy rémálmot nyújt.

Ezzel szemben, ha a valószínűségeloszlás "elegendő gazdag alapvektor-halmazt ad", akkor a várakozási érték egyenlete $ g (t_j) = 0 $ szinte mindenhol . szinte mindenhol alatt azt értjük, hogy lehet egy nulla valószínűségi halmaz, ahol $ g (t_j) \ ne 0 $ - pl.folyamatos valószínűségi eloszlás esetén ez egyetlen pont halmaza lehet.

Azt is látjuk, hogy a terminológia kissé félrevezető.Helyesebb lenne a $ p_ \ theta (\ cdot) $ teljesnek nevezni a disztribúciócsaládot (nem pedig a $ T $ statisztikát) - ahogy az eredeti kérdés is kimondta.A teljesség mindenképpen azt jelenti, hogy a $ \ theta $ összes lehetséges értékének disztribúcióinak összegyűjtése kellően gazdag vektorkészletet biztosít.